복소수란?

복소수(complex number)란? $a,b$가 실수(real nunmber)이고 $i$가 허수(imaginary number)일때 $a+bi$ 꼴로 나타내어지는 '수(numer)'를 '복소수'라고 한다. 복소수의 정리) $z=a+bi$ $(z=복소수, a\neq0, b\neq0)$ 만약... $b=0$ → 실수(레알 넘버) $a=0, b\neq0$ → 순허수 즉, 그냥 허수

2021.03.04

허수란? 그리고 허수의 거듭제곱

허수(imaginary number)란 일반적으로 우리가 알고 있는 수(정수,실수,양수,음수)의 경우 제곱을하면 0 이상의 수가 된다. 하지만 제곱을 했을때 -1이 되는 수가 있다면? 수학자들의 이와같은 상상에서 시작된 문제를 해결하기 위해 탄생된 수가 바로 허수이다. 즉, 허수는 글자에 내포하고 있는 의미와 같이 실제로 존재하는 수가 아닌 상상의 수라고 생각하면 이해하기 쉽다. 일반적으로 허수를 표현하는 상징으로 허수(imaginary number)의 앞글짜를 따서 $i$로 나타낸다. 허수 $i$의 정의) $i=\sqrt{-1}$ ---- 허수 $i$의 거듭제곱) $i^0=1$ // 모든수의 0제곱은 1 $i^1=i$ // 1제곱은 그냥 $i$ $i^2=-1$ // $i$는 $\sqrt{-1}$라고 정..

2021.03.04

음수의 제곱근 간단히 하기

음수의 제곱근 간단히 하기 아래와 같이 제곱근이 음수인 값을 간단히 해봅시다. 먼저, $\sqrt{-1}$은 허수의 단위 $i$로 나타낼 수 있으며, 임의의 음의 실수 $-a$에 대하여 $\sqrt{-a}$를 $i\sqrt{a}$로 나타낼 수 있습니다. 예제1) $\pm\sqrt{-49}$ 을 허수의 단위 $i$를 이용하여 나타내 보세요. ---- 풀이) $=\pm\sqrt{-1\cdot 49}$ $=\pm\sqrt{-1}\cdot\sqrt{49}$ $=\pm i\cdot\sqrt{49}$ $=\pm7i$ ---- 정리) $\pm\sqrt{-49}=\pm7i$ ---------------- 예제2) $pm\sqrt{-80}$ 을 허수의 단위 $i$를 이용하여 나타내 보세요. ---- 풀이) $=\pm\s..

2021.03.04

차수가 높은 다항식 인수분해하기

차수가 높은 다항식 인수분해하기 먼저 이차방정식의 인수분해를 다시한번 살펴보면 $x^2+abx+b^2=(x+a)(x+b)$ $(ax)^2+2abx+b^2=(ax+b)^2$ 위와같이 인수분해 된다는 성질을 알고 있습니다. 그렇다면 이차방정식 이상으로 차수가 높은 다항식은 어떻게 인수분해를 할까? 다음의 예제를 가지고 인수분해를 해봅시다. 예제1) $x^4+5x^3+4x+20$ 를 인수분해하세요. ------------------------------------------------------------ 먼저 공통 인수로 묶어낼 수 있는것이 있느지 살펴봅니다. 앞의 두 항 $x^4+5x^3$에서 $x^3$을 공통 인수로 묶어낼 수 있을것 같습니다. $=x^3(x+5)+4x+20$ 그다음은 뒤의 두 항에서도 ..

2021.03.03

다항식의 나머지정리와 인수정리

다항식의 나머지정리(remainder theorem) 다항식을 일차식으로 나눌 때, 직적 나눗셈을 하지 않고 항등식의 성질을 이용하여 나머지를 구하는 방법을 나머지 정리라고 합니다. 다항식의 일반 풀이) 다항식 $f(x)$를 일차식 $x-a$로 나누었을 때 못을 Q(x), 나머지를 R 이라 하면 $f(x)=(x-a)Q(x)+R$ 여기서 양변에 $x=a$를 대입하면 $f(a)=(a-a)Q(a)+R=0\times Q(a)+R$ $f(a)=R$ 다항삭의 나머지정리) 1) 다항식 $f(x)$를 일차식 $x-a$로 나눌 때, 나머지를 $R$ → $R=f(a)$ 2) 다항식 $f(x)$를 일차식 $ax-b$로 나눌 때, 나머지를 $R$ → $R=f$$(\frac{b}{a})$ 다항식의 인수정리(factor theo..

2021.03.02

다항식의 나눗셈

다항식의 나눗셈 다항식의 나눗셈도 숫자의 나눗셈과 같은 형식으로 계산이 가능합니다. 단, 숫자의 나눗셈과 다른점은 최고차항과 계수의 차수가 같아지도록 하면서 나누어 계산해 나간다는 점입니다. 예제1) (나머지 없음) 다항식 A $(x^2+3x-4)$ 를 다항식 B $(x-1)$ 로 나누고 그 결과값을 적으세요. 결과) $(X^2+3x-4)\div(x-1)=(x-1)(x+4)+0$ (나머지 0은 생략합니다.) 다항식 $A$를 $B$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라고 하며, $A=BQ+R$ $(B\neq0)$ 으로 정리할 수 있습니다. 예제2) (나머지 있음) 다항식 A $(2x^3-5x^2+5x-4)$ 를 다항식 B $(2x-3)$ 로 나누고 그 결과값을 적으세요. 결과) $(2x^3-5..

2021.03.02

근의 공식과 증명

근의 공식 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 에 대한 근의 공식은 다음과 같습니다. $x=$$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 근의 공식 증명 근의 공식을 증명하기 위해 먼저 완전제곱꼴로 만들고 그 다음 대수학을 사용하여 증명합니다. 1. 완전제곱꼴 만들기 $ax^2+bx+c=0$ $ax^2+bx=-c$ \(x^2+\)\(\frac{b}{a}\)$x=-$$\frac{c}{a}$ $x^2+$$\frac{b}{a}$$x+$$\frac{b^2}{4a^2}$$=$$\frac{b^2}{4a^2}$$-$$\frac{c}{a}$ $(x+$$\frac{b}{2a}$$)^2=$$\frac{b^2}{4a^2}$$-$$\frac{c}{a}$ 2. 대수학 $(x+$$\frac{b}{2a}$$)^2=$..

2021.02.10

이차방정식의 인수분해

이차방정식의 인수분해 다항식을 인수분해하면 두개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 다항식 -> 인수분해 $x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$ 이차방정식 인수분해 : 최고차항의 계수 =1인 경우 $x^2+bx+c$ 꼴의 다항식에서 먼저 곱하면 상수인 $c$가 되고 더하면 $x$의 계수인 $b$가 되는 두 수를 찾아 해를 구합니다. 예제) $x^2+5x+6$을 인수분해하세요 1. 먼저 곱하면 상수인 6이 되고, 더하면 $x$의 계수인 5가 되는 두 수를 찾습니다. $2\cdot3=6$, $2+3=5$ 이므로, 두 수는 2와 3입니다. 2. 구해진 각 수를 $x$에 더하여 두 개의 이항식 인수를 만듭니다. 3. $=(x+2)(x+3)$ 이차방정식 인수분해 : 최고차항의 계수 $\neq1$인 경우 ..

2021.02.08

비례식 그리고 비례방정식

비례식이란 x, y로 되어 있는 어떤 두 수가 일정한 비율로 증가 또는 감소할 때 'x는 y에 비례한다' 라고 합니다. 이렇게 일정한 비율 즉, 정비례하는 것을 식으로 나타낸것이 바로 비례식이며, 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있습니다. \(x:y=a:b\) (a와 b는 비례값을 가지는 상수항) 비례식을 방정식으로 위와 같은 비례식을 방정식으로 만들면 다음과 같이 할 수 있습니다. 정비례방정식 예를들어 x와 y가 양쪽 모두 두배의 비율로 증가 한다고 가정하면 \(x:y=1:2\) (\(x, y\)의 위치가 바뀌어도 비례값만 변하지 않는다면 상관 없음) \(x\div y=1\div 2\) (양변에 최소공배수 2y를 곱하면) \(2x=y\) \(y=2x\) 즉, 비례방정식의 관계식은 \(y=ax\) 입니다..

2021.01.21

일차방정식과 이항

일차방정식(linear equation)이란 차수가 1차식 즉, 문자가 곱해진 횟수가 1회인 방정식을 말합니다. 일차방정식인지 판단하기 위해서는 모든 항을 좌변으로 이항해서 계산을 한 뒤 좌변이 일차식이 되는지를 확인해야 합니다. 일차방정식의 일반형은 '(일차식) = 0' 의 형태 입니다. 예제1) \(2x+3=5\)는 일차방정식인가? 먼저 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리합니다. \(1x+3-5=0\) \(2x-2=0\) 이 식은 미지수 \(x\)의 차수가 1인 일차방정식이 맞습니다. 예제2) \(x^2+x-1=x^2-x-1\)은 일차방정식인가? 역시 먼저 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리합니다. \(x^2-1-x^2+x+1=0\) \(2x=0\) 이 식도 미지수 \(x\)의 차수가 1인 일차방정식이 ..

2021.01.20