차수가 높은 다항식 인수분해하기

차수가 높은 다항식 인수분해하기

먼저 이차방정식의 인수분해를 다시한번 살펴보면

$x^2+abx+b^2=(x+a)(x+b)$

$(ax)^2+2abx+b^2=(ax+b)^2$

위와같이 인수분해 된다는 성질을 알고 있습니다.

 

그렇다면 이차방정식 이상으로 차수가 높은 다항식은 어떻게 인수분해를 할까?

다음의 예제를 가지고 인수분해를 해봅시다.

 

예제1)

$x^4+5x^3+4x+20$ 를 인수분해하세요.

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먼저 공통 인수로 묶어낼 수 있는것이 있느지 살펴봅니다.

앞의 두 항 $x^4+5x^3$에서 $x^3$을 공통 인수로 묶어낼 수 있을것 같습니다.

 

$=x^3(x+5)+4x+20$

 

그다음은 뒤의 두 항에서도 공통인수로 묶어낼 수 있는것이 있는지 살펴봅니다.

역시 뒤 두 항에서도 $4$를 공통인수로 묶어낼 수 있을것 같네요

 

$=x^3(x+5)+4(x+5)$

 

이렇게 공통인수로 묶어내고나니 $(x+5)$라는 공통인수가 생겼습니다.

이 공통인수를 하나로 묶고 나머지 인수들을 묶어주면

최고차항이 4차인 다항식의 인수분해가 끝이납니다.

 

$=(x^3+4)(x+5)$

 

 

예제2)

$(x^2+x-6)(2x^2+4x)$ 를 완전히 인수분해하세요.

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우선 언뜻 보기에 인수분해가 되어있는것 같이 보입니다.

하지만 더 인수분해가 가능해 보입니다.

문제에서 이야기한것과 같이 식을 완전히 인수분해 해봅시다.

 

먼저 첫번째 가로안에 있는 식$(x^2+x-6)$을 보면 이차방정식의 인수분해를 사용하여

인수분해를 하면 될것 같습니다.

더해서 가운데 상수 1이되고 곱해서 -6이되는 두수를 찾으면 간단하게 인수분해가 가능할것 같습니다.

두 수는 +3, -2입니다. 그럼 두 상수를 에 대입하여 첫번째 가로항을 인수분해 해봅시다.

 

$=(x+3)(x-2)(2x^2+4x)$

 

다음으로 두번째 가로항에서 공통인수를 찾아보겠습니다.

$2x$를 공통인수로 묶어낼 수 있을것 같습니다.

그럼 두번째 가로항까지 인수분해를 해보도록 하겠습니다.

 

$=(x+3)(x-2)2x(x+2)$

 

이 식을 보기좋게 다시 정리해보면 다음과 같이 정리 할 수 있습니다.

 

$=2x(x+3)(x-2)(x+2)$