다항식의 나머지정리와 인수정리

다항식의 나머지정리(remainder theorem)

다항식을 일차식으로 나눌 때, 직적 나눗셈을 하지 않고

항등식의 성질을 이용하여 나머지를 구하는 방법을 나머지 정리라고 합니다.

 

다항식의 일반 풀이)

다항식 $f(x)$를 일차식 $x-a$로 나누었을 때 못을 Q(x), 나머지를 R 이라 하면

$f(x)=(x-a)Q(x)+R$

여기서 양변에 $x=a$를 대입하면

$f(a)=(a-a)Q(a)+R=0\times Q(a)+R$

$f(a)=R$

 

 

다항삭의 나머지정리)

1) 다항식 $f(x)$를 일차식 $x-a$로 나눌 때, 나머지를 $R$ → $R=f(a)$

2) 다항식 $f(x)$를 일차식 $ax-b$로 나눌 때, 나머지를 $R$ → $R=f$$(\frac{b}{a})$

 

 

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다항식의 인수정리(factor theorem)

다항식 $f(x)$를 다항식(A)로 나누어 $0$이 되는 다항식(A)를 인수라고 합니다.

인수정리는 3차 이상의 고차식에서 인수를 찾고자 할 때 사용할 수 있습니다.

 

1) 다항식 $f(x)$가 $x-a$로 나누어 나머지 없이 떨어진다.  → $f(a)=0$

2) $f(a)=0$  → 다항식 $f(x)$가 $x-a$로 나누어 나머지 없이 떨어진다.

 

$f(a)=0$ ↔ $f(x)=(x-a)Q(x)$

위와 같은 성질을 인수정리라고 합니다.