이차방정식의 인수분해

이차방정식의 인수분해

다항식을 인수분해하면 두개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있습니다.

 

  다항식 -> 인수분해

$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$

 

 

 

이차방정식 인수분해 : 최고차항의 계수 =1인 경우

$x^2+bx+c$ 꼴의 다항식에서 먼저 곱하면 상수인 $c$가 되고

더하면 $x$의 계수인 $b$가 되는 두 수를 찾아 해를 구합니다.

 

예제)

$x^2+5x+6$을 인수분해하세요

 

1. 먼저 곱하면 상수인 6이 되고, 더하면 $x$의 계수인 5가 되는 두 수를 찾습니다.

   $2\cdot3=6$, $2+3=5$ 이므로, 두 수는 2와 3입니다.

2. 구해진 각 수를 $x$에 더하여 두 개의 이항식 인수를 만듭니다.

3. $=(x+2)(x+3)$

 

 

 

이차방정식 인수분해 : 최고차항의 계수 $\neq1$인 경우

$ax^2+bx+c$꼴의 다항식에서 최고차항의 계수가 1이 아닌경우에는

곱셈공식을 이용해 이차식을 인수분해 할 수는 없습니다.

이때는 더해서 가운데 $x$항의 계수가 되고 곱해서 $c$항의 상수항이 되는 두 정수를 찾아 해를 구합니다.

 

예제1)

$2x^2+7x+3$을 인수분해하세요

 

1. 먼저 두 수의 더한값이 $x$의 계수인 7이되고 최고차항의 계수와 상수항을 곱한 값이 되는 두 수를 찾습니다.

   $a+b=7$ 이면서 $2\cdot3=6$ 인 두 수는 1과 6입니다.

2. 다음은 찾은 두 수를 다항식에 대입하고, 두 항씩 묶어줍니다.

   $2x^2+1x+6x+3=(2x^2+1x)+(6x+3)$

3. 공통인수로 묶어냅니다.

   $=x(2x+1)+3(2x+1)$

4. 다시한번 공통인수로 묶어내어 최종 해를 구합니다.

   $=(2x+1)(x+3)$

 

 

예제2)

$2x^2-28x+98=0$을 인수분해하고 $x$의 값을 구하세요.

 

1. 위의 경우는 양변을 같은 값으로 나눌 수 있는경우 입니다.   

   그럼 먼저 2로 양변을 나누어 줍니다.   

    $x^2-14x=49=0$

2. $x$항의 계수는 -14이고 상수항은 49이므로,

    더하면 -14가 되고 곱하면 49가 되는 두 수를 구해야 합니다.  

    $-7+-7=-14$, $-7\times -7=49$ 이므로, 두 수는 -7, -7 입니다.

3. 구해진 숫자를 대입하여 인수분해하면,

    $(x-7)^2=0$ 입니다

.4. 따라서 $x=0$ 입니다.