일차방정식과 이항

일차방정식(linear equation)이란

차수가 1차식 즉, 문자가 곱해진 횟수가 1회인 방정식을 말합니다.

일차방정식인지 판단하기 위해서는 모든 항을 좌변으로 이항해서 계산을 한 뒤

좌변이 일차식이 되는지를 확인해야 합니다.

일차방정식의 일반형은 '(일차식) = 0' 의 형태 입니다.

 

예제1)

\(2x+3=5\)는 일차방정식인가?

 

먼저 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리합니다.

\(1x+3-5=0\)

\(2x-2=0\)

이 식은 미지수 \(x\)의 차수가 1인 일차방정식이 맞습니다.

 

예제2)

\(x^2+x-1=x^2-x-1\)은 일차방정식인가?

 

역시 먼저 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리합니다.

\(x^2-1-x^2+x+1=0\)

\(2x=0\)

이 식도 미지수 \(x\)의 차수가 1인 일차방정식이 맞습니다.

 

이항(transposition)이란

등식의 성질(양변에 같은 수를 더하거나 뺴거나, 곱하거나 나누어도 등식은 성립하는 성질)을 이용하여

양변에 같은 수를 더하거나, 뺴거나 곱하거나 나누어 식을 정리하는 계산법입니다.

이때 계산의 중간과정을 생략하면 마치 부호만 바뀌면서 한쪽변에서 다른 한쪽변으로 이동을 하는 것처럼 보여서

이항(transposition) 이라고 붙여진 이름 입니다.

 

예제)

\(3x-2=6-x\) 에서 우변을 모두 좌변으로 이항 시켜보겠습니다.

 

먼저 우변을 좌변으로 이항시키기 위해서 우변을 정리하기 위한 값들을 좌변과 우변에 동시에 배치합니다.

\(3x-2-6+x=6-x-6+x\)

\(3x-2-6+x=0 \)

우변을 정리하고 나면 마치 처음 우변에 있던 값들이 좌변으로 부호를 바꿔달고 이동한것과 같은 착각을 일으키게 됩니다.

즉, 이항이라는 착각을 일으킬 수 있었던 이유는 바로 중간 과정을 생략했기 때문에 발생한 착시효과 였던 것입니다.

 

하지만 이런 중간과정을 생략하고 등호를 넘어갈때 더하기는 뺴기로, 곱하기는 나누기로 바로 이항을 시키면

계산과정을 간소화 시킬수 있는 장점이 있습니다.

 

좌변의 항들을 우변으로 이항시킬때도 마찬가지 입니다.

 

일차방정식의 풀이

일차방정식의 풀이는 기본적으로 이항과 등식의 성질을 이용하여 'x = (숫자)' 형식으로 해를 구합니다.

 

1. \(x\)가 포함된 모든 항은 좌변으로, \(x\)가 없는 항(상수항)은 우변으로 이항

2. 각 변을 \(ax=(숫자)\) 꼴로 정리

3. \(x\)의 계수 \(a\)로 양변을 나누거나 곱하여 최종 \(x=(숫자)\) 형식으로 해를 구합니다.

 

예제)

\(2x+3=4x-9\)의 해를 구하시오.

 

먼저 \(x\)가 포함된 항을 좌변으로 이항시키면서 부호를 반대로 바꿔주고,

상수항을 우변으로 바꾸면서 역시 부호를 반대로 바꿔줍니다.

\(2x-4x=-9-3\)

그 다음 동류항끼리 계산을 해줍니다.

\(-2x=-12\)

최종적으로 \(x\)의 계수로 양변을 나누어 최종 해를 구합니다.

\(x=6\)