공식의 전개와 인수분해 그리고 등식의 성질

전개(expand)와 인수분해(factorization)

주어진 식을 합의 꼴로 정리하는 것을 전개한다 라고 하고,

주어진 식을 몇 개의 인수의 곱으로 나타내는 일을 인수분해 라고 합니다.

아래와 같이 좌변에서 우변으로 생각하는 것을 '전개하다',

우변에서 좌변으로 생각하는 과정을 '인수분해하다'라고 합니다.

 

------- 전개 ------->

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

<----- 인수분해 -----

 

예제1)

$(x+3{)}^2$ 을 전개하면, $x^2+6x+9$

 

예제2)

$x^2-16$ 을 인수분해하면, $(x+4)(x-4)$

 

등식의 성질

방정식의 해를 구한다는 것은 주어진 등식을 만족하는 미지수의 값을 찾는 것입니다.

따라서 해를 구하려면 주어진 방정식을 정리해야 합니다.

 

1. 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립합니다.

$a=b$ 이면 $a+c=b+c$

 

2. 등식의 양변에 같은 수를 빼어도 등식은 성립합니다.

$a=b$ 이면 $a-c=b-c$

 

3. 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립합니다.

$a=b$ 이면 $ac=bc$

 

4. 등식의 양변에 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립합니다.

$a=b$ 이고 $c\ne 0$ 이면$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$

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다음 식에서 어느 부분이 잘못되었을까요?

$x^2-x^2=x^2-x^2$ 이므로 좌변은 공통인수로 묶어서, 우변은 합차공식을 사용하여 인수분해하면,

$x(x-x)=(x+x)(x-x)$ 이다.

이제 양변에 $(x-x)$로 나누면(약분하면) 

$1x=2x$이고, 또 양변을 $x$로 나누면(약분하면),

$1=2$ 이다.

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답:

두번째 줄에서 세번째 줄로 넘어가는 부분에서 등식의 양변을 $0(x-x)$으로 나누었으므로,

이 부분에서 오류가 생기게 됩니다.

 

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[참조]
어른들을 위한 기초 수학: 초등부터 고등까지
https://www.edwith.org/sutudy/lecture/2644