허수란? 그리고 허수의 거듭제곱

허수(imaginary number)란

일반적으로 우리가 알고 있는 수(정수,실수,양수,음수)의 경우 제곱을하면 0 이상의 수가 된다.

하지만 제곱을 했을때 -1이 되는 수가 있다면?

수학자들의 이와같은 상상에서 시작된 문제를 해결하기 위해 탄생된 수가 바로 허수이다.

 

즉, 허수는 글자에 내포하고 있는 의미와 같이 실제로 존재하는 수가 아닌 상상의 수라고 생각하면 이해하기 쉽다.

일반적으로 허수를 표현하는 상징으로 허수(imaginary number)의 앞글짜를 따서 $i$로 나타낸다.

 

허수 $i$의 정의)

$i=\sqrt{-1}$

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허수 $i$의 거듭제곱)

$i^0=1$           // 모든수의 0제곱은 1

$i^1=i$            // 1제곱은 그냥 $i$

$i^2=-1$        // $i$는 $\sqrt{-1}$라고 정의했으니 $\sqrt{-1^2}=-1$

$i^3=-i$         // $i^3=i^1\cdot i^2=i\cdot-1=-i$

$i^4=1$            // $i^4=i^2\cdot i^2=-1\cdot-1=1$

$i^5=i$            // $i^5=i^1$

$i^6=-1$        // $i^6=i^2$

$i^7=-i$         // $i^7=i^3$

$i^8=1$            // $i^8=i^4$

...

...

...

$i$의 5승 이상은 4의 배수로 반복순환...

 

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허수 $i$의 거듭제곱의 정리)

$i^n=i^{n+4}$