2진법, 5진법 그리고 진법의 계산

진법이란

일정 개수의 한 묶음이 되면 왼쪽으로 자리넘김을 하는 숫자 표기법

예) 10진법, 2진법, 5진법, 8진법 ......

 

십진법(decimal system)이란

우리가 통상적으로 쓰는 10개 묶음 단위의 숫자 표시법 (또 다른 말로 '십진수'라고도 한다.)

 

2진법(binary system)이란

컴퓨터에서 주로 사용되는 진법으로서 각 자리를 0과 1 두 가지로만 표시한다.

2가 되면 자리를 넘겨서 10으로 표시, 3이 되면 11로, 4는 100으로 표시하는 숫자체계.

 

5진법이란

각 자리를 0,1,2,3,4, 다섯가지의 수로만 표시.

5가되면 자리를 넘겨서 10으로 표시.

6이면 11, 7은 12, 8은 13, 9는 14, 10은 다시 자리수를 늘려서 200으로 표시한다.

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이진수를 십진수로 바꾸기

오른쪾에서 첫 자리는 x1, 둘째 자리는 x2, 셋째 자리는 x(2 x 2 x2), 넷째 자리는 x(2 x 2 x 2 x 2), ......

이런 식으로 계산한다.

 

예시)

이진수 101001 을 십진수로 바꾸면

\(1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2 + 1 \times 1 = 32+8+1 = 41\)

 

십진수를 이진수로 바꾸기

주어진 십진수를 2로 나눈 나머지가 오른쪽 일의 자리수이며

그 몫이 2이상이면 또 2로 나누어 그 나머지는 그 다음 자리수가 되고 그 몫이 2이상이면 또 2로 나눈다.

이런식으로 몫이 1이 될 때까지 계속하고, 마지막 몫 1이 가장 큰 자리의 값이 된다.

 

예시)

십진수 51을 이진수로 바꾸면

                  몫        나머지

\(51\div2 = 25\)         1

\(25\div2 = 12\)         1

\(12\div2 = 6\)           0

  \(6\div2 = 3\)           0

  \(3\div2 = 1\)           1

                              1

마지막에 나눈 2보다 작은 몫 1부터 위로 올라가는 순서로 왼쪽부터 나열하면 1100111 이 되며,

바로 \(1100111_{(2)}\)이 십진수 51이 이진수로 변환된 것이다.

 

이진수의 소수를 십진수로 바꾸기

소수점 아래 첫번째 자리부터 다음의 차례로 각 자리에 대입하여 계산한다.

이진법의 소수점 첫째 자리는 X\(\frac{1}{2}\), 둘째 자리는 X\(\frac{1}{2^2}\), 셋째 자리는 X\(\frac{1}{2^3}\),

넷째 자리는 X\(\frac{1}{2^4}\), 다섯째 자리는 X\(\frac{1}{2^5}\),... 이런 식으로 계산.

 

예시)

이진수 소수 0.101을 십진수로 바꾸면

\((1 \times 1/2) + (0 \times 1/2^2) + (1 \times 1/2^3) = 0.5+0+0.125=0.625_{(10)}\)

 

십진수의 소수를 이진수로 바꾸기

주어진 십진수 소수에 2를 곱한 정수 부분이 이진수의 소수점 첫째 자리 값이 된다.

그 정수 부분을 0으로 처리한 소수에 또 다시 2를 곱하여 만들어지는 정수 값이 소수점 둘째 자리 값이 되며,

이런 식으로 계속 진행하여 십진수를 이진수로 변환한다.

 

예시)

                         값         정수

\(0.625\times2 = 1.25\)        1

  \(0.25\times2 = 0.5\)          0

    \(0.5\times2 = 1\)              1

 

십진수 정수를 이진수로 바꿀때와는 반대로 정수값을 위에서 아래로 내려가는 순서로 왼쪽부터 나열하면 0.101 이 되며,

바로 \(0.101_{(2)}\)이 십진수의 소수 0.625가 이진수로 변환된 것이다.

 

이진수의 덧셈과 뺄셈

덧셈에서는 해당 자리의 계산 값이 2가 되면 다음 자리로 1이 올라간다는 점에 유의해야 한다.

뺄셈에서는 해당 자리에서 빼는 수가 더 크면, 앞 수의 다음 자리에서 1을 빌려와 계산한다.

 

예시)

\(1011_{(2)}+110_{(2)}=1001_{(2)}\)

\(1011_{(2)}-110_{(2)}=101_{(2)}\)

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오진수를 십진수로 바꾸기

오른쪽에서 첫 자리는 x1, 둘째 자리는 x5, 셋째 자리는 x(5 x 5), 넷째 자리는 x(5 x 5 x 5), 다섯째 자리는 x(5 x 5 x 5 x 5), ......

이런 식으로 계산한다.

 

예시)

오진수 4023을 십진수로 바꾸면

\((4\times5^3)+(0\times5^2)+(2\times5)+(3\times1) = 500+10+3=513\)

 

십진수를 오진수로 바꾸기

주어진 십진수를 5로 나눈 나머지가 오른쪽 일의 자리 수이며

그 몫이 5이상이면 또 5로 나누어 그 나머지는 그 다음 자리수가 되고 그 몫이 5이상이면 또 5로 나눈다.

이런식으로 몫이 5 이하가 될 때까지 계속하고, 마지막 5 이하의 몫이 가장 큰 자리의 값이 된다.

 

예시)

십진수 51을 오진수로 바꾸면

                 몫        나머지

\(51\div5 = 10\)        1

\(10\div5 = 2\)          0

                            2

마지막에 나눈 5보다 작은 몫 2부터 위로 올라가는 순서로 왼쪽부터 나열하면 201 이 되며,

바로 \(201_{(5)}\)이 십진수 51이 오진수로 변환된 값이다.

 

오진수의 소수를 십진수로 바꾸기

소수점 아래 첫번째 자리부터 다음의 차례로 각 자리에 대입하여 계산한다.

이진법의 소수점 첫째 자리는 X\(\frac{1}{5}\), 둘째 자리는 X\(\frac{1}{5^2}\), 셋째 자리는 X\(\frac{1}{5^3}\),

넷째 자리는 X\(\frac{1}{5^4}\), 다섯째 자리는 X\(\frac{1}{5^5}\),... 이런 식으로 계산한다.

 

예시)

오진수 소수 0.41를 십진수로 바꾸면

\((4 \times 1/5) + (1 \times 1/5^2) = 0.8+0+0.04=0.84_{(10)}\)

 

십진수의 소수를 오진수로 바꾸기

주어진 십진수 소수에 5를 곱한 정수 부분이 이진수의 소수점 첫째 자리 값이 된다.

그 정수 부분을 0으로 처리한 소수에 또 다시 5를 곱하여 만들어지는 정수 값이 소수점 둘째 자리 값이 되며,

이런 식으로 계속 진행하여 십진수를 오진수로 변환한다.

 

예시)

                         값         정수

\(0.84\times5 = 4.2\)            4

  \(0.2\times5 = 1.0\)           1

 

십진수 정수를 오진수로 바꿀때와는 반대로 정수값을 위에서 아래로 내려가는 순서로 왼쪽부터 나열하면 0.41 이 되며,

바로 \(0.41_{(5)}\)이 십진수의 소수 0.84가 이진수로 변환된 것이다.

 

오진수의 덧셈과 뺄셈

덧셈에서는 해당 자리의 계산 값이 5가 되면 다음 자리로 1이 올라간다.

뺄셈에서는 해당 자리에서 빼는 수가 더 크면, 앞 수의 다음 자리에서 5를 빌려와 계산한다.

 

예시)

\(201_{(5)}+41_{(5)}=242_{(5)}\)

\(201_{(5)}-41_{(5)}=110_{(5)}\)

 

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[참조]
어른들을 위한 기초 수학: 초등부터 고등까지
https://www.edwith.org/sutudy/lecture/26193