실수와 허수 그리고 복소수의 연산

실수(real number)란

유리수와 무리수를 모두 합한 수로, 수직선 위에 표현할 수 있는 모든 수.

모든 실수는 제곱을 하였을때 그 결과 값이 모두 양수입니다.

 

허수(imaginary number)란

실수에서는 제곱했을 때 음수가 되는 수는 없지만, 음수의 제곱근으로서의 허수라는 개념을 도입.

허수의 단위는 \(\sqrt-1\)이고 이를 '\(i\)'로 표시합니다.

따라서 \(i^2 = -1\)이다.

 

(1) \(\sqrt-2 = \sqrt2 \times \sqrt-1 = \sqrt2 \times i = \sqrt2i\)

(2) \(\sqrt-4 = \sqrt4 \times \sqrt-1 = 2 \times i = 2i\)

 

복소수(complex number)란

복소수는 실수와 허수의 합의 모양으로 나타낸 수를 말합니다.

\(a + bi\)가 일반적인 복소수의 형태입니다.

즉, \(a + bi\)의 형태로 표현할 수 있어야 복소수라고 말할 수 있습니다.

(단, \(a\)와 \(b\)는 실수이다.)

 

예시) \(-4+9i\),  \(54-5i\),  \(0.28+7i\),  \(\sqrt2-\sqrt3i\), ......

 

 

켤레복소수(conjugate complex number)란

복소수 \(z=a+bi\)에 대해 \(a-bi\)를 \(z\)의 켤레복소수라고 하며, \(\bar{z}\)로 나타냅니다.

 

 

복소수의 연산

복소수는 연산을 해도 복소수...

 

(1) 더하기

\((a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i\)

 

(2) 빼기

\((a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i\)

 

(3) 곱하기

\((a+bi)\times(c+di) = a \times (c+di) + bi \times (c+di)\)

                                 \(= ac+(ad)i + (bc)i + (bd)i^2\)

                                 \(=ac+(ac)i+(bc)i+(bd)(-1)\)

                                 \(=(ac-bd)+(ac+bc)i\)

 

(4) 나누기

\((a+bi) \div (c+di) = \)\(\frac{a+bi}{c+di}\)

                                 \(=\frac{a+bi}{c+di} \times \frac{c-di}{c-di}\)  *복소수의 실수화(유리화)

                                 \(=\frac{(a+bi)\times(c-di)}{c^2-d^2i^2}\)

                                 \(=\frac{a+bi) \times (c-di)}{c^2 - d^2}\)

                                 \(=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2-d^2}\)

 

 

*복소수 분수 형태 실수화(유리화)하기

분모 자리 복소수의 켤레복소수를 분자, 분모 모두 곱하여 분모를 유리화 시켜주는 과정.

 

 

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[참조]
어른들을 위한 기초 수학: 초등부터 고등까지
https://www.edwith.org/sutudy/lecture/26192