실수와 허수 그리고 복소수의 연산

실수(real number)란

유리수와 무리수를 모두 합한 수로, 수직선 위에 표현할 수 있는 모든 수.

모든 실수는 제곱을 하였을때 그 결과 값이 모두 양수입니다.

 

허수(imaginary number)란

실수에서는 제곱했을 때 음수가 되는 수는 없지만, 음수의 제곱근으로서의 허수라는 개념을 도입.

허수의 단위는 $\sqrt{-}1$이고 이를 '$i$'로 표시합니다.

따라서 $i^2=-1$이다.

 

(1) $\sqrt{-}2=\sqrt{2}\times \sqrt{-}1=\sqrt{2}\times i=\sqrt{2}i$

(2) $\sqrt{-}4=\sqrt{4}\times \sqrt{-}1=2\times i=2i$

 

복소수(complex number)란

복소수는 실수와 허수의 합의 모양으로 나타낸 수를 말합니다.

$a+bi$가 일반적인 복소수의 형태입니다.

즉, $a+bi$의 형태로 표현할 수 있어야 복소수라고 말할 수 있습니다.

(단, $a$와 $b$는 실수이다.)

 

예시) $-4+9i$,  $54-5i$,  $0.28+7i$,  $\sqrt{2}-\sqrt{3}i$, ......

 

 

켤레복소수(conjugate complex number)란

복소수 $z=a+bi$에 대해 $a-bi$를 $z$의 켤레복소수라고 하며, $\overline{z}$로 나타냅니다.

 

 

복소수의 연산

복소수는 연산을 해도 복소수...

 

(1) 더하기

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

 

(2) 빼기

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

 

(3) 곱하기

$(a+bi)\times (c+di)=a\times (c+di)+bi\times (c+di)$

                                 $=ac+(ad)i+(bc)i+(bd)i^2$

                                 $=ac+(ac)i+(bc)i+(bd)(-1)$

                                 $=(ac-bd)+(ac+bc)i$

 

(4) 나누기

$(a+bi)÷(c+di)=$$\frac{a+bi}{c+di}$

                                 $=\frac{a+bi}{c+di}\times \frac{c-di}{c-di}$  *복소수의 실수화(유리화)

                                 $=\frac{(a+bi)\times (c-di)}{c^2-d^2{i}^2}$

                                 $=\frac{a+bi)\times (c-di)}{c^2-d^2}$

                                 $=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2-d^2}$

 

 

*복소수 분수 형태 실수화(유리화)하기

분모 자리 복소수의 켤레복소수를 분자, 분모 모두 곱하여 분모를 유리화 시켜주는 과정.

 

 

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[참조]
어른들을 위한 기초 수학: 초등부터 고등까지
https://www.edwith.org/sutudy/lecture/26192