이차함수와 이차함수 그래프

이차함수(quadratic finction)란

최고차항의 차수가 2인 다항함수를 말하며,

이차함수 $f(x)$는 다음의 세가지 꼴로 표현할 수 있습니다.

여기에서 $(a,b,c,p,q)$는 상수이며, $a\neq0$ 입니다.

 

일반형

$f(x)=ax^2+bx+c$

 

표준형1

$f(x)=a(x-p)^2+q$

 

표준형2

$f(x)=a(x-p)(x-q)$

 

 

이차함수와 그래프

이차함수를 이용하여 그래프를 그리면 포물선과 같은 형태가 그려집니다.

 

 

 

이차함수를 그래프로 나타낼때 표준형과 일반형의 특징에 대하여 다음과 같이 요약할 수 있습니다.

	$f(x)=ax^2+bx+c$	$f(x)=a(x-p)^2+q$
그래프의 유형	$a>0$일때 아래로 볼록 $a<0$일때 위로 볼록
그래프의 폭	$\left |a\right |$ 의 값이 클수록 감소 $\left |a\right |$ 의 값이 작을수록 증가
꼭지점	$(-$$\frac{b}{2a}$$,$$\frac{4ac-b^2}{4a}$$)$	$(p, q)$
대칭축	$x=-$$\frac{b}{2a}$	$x=p$
$x$절편	$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (단, $b^2 \geq4ac$ 일때 존재)	$p\pm$$\sqrt{-\frac{q}{a}}$ (단, $ aq\leq0$일때 존재)
$y$절편	$c$	$ap^2+q$
초첨	$(-$$\frac{b}{2a}$$, $$\frac{4ac-b^2+1}{4a}$$)$	$(p,q+$$\frac{1}{4a}$$)$
준선	$y=$$\frac{4ac-b^2-1}{4a}$	$y=q-$$\frac{1}{4a}$